Resuelta la conjetura débil de Goldbach!

La conjetura débil de Goldbach...

Muchas veces pensamos que un enunciado simple conlleva una solución simple. El enunciado es bien sencillo: "Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos".

Al leer el enunciado, uno repasa en su cabeza: 5=1+1+3; 7=1+1+5; 9=1+3+5; 11=3+3+5... y un friki, se encuentra con una alternativa al sudoku... un pasatiempo que no terminará nunca, porque ya está demostrado: no hay contraejemplo. La conjetura débil es cierta. Tenemos un teorema.

Pero ¿Cómo demostrar esto? Probar que es cierto para los primeros millones de números impares no hace que sea cierto para todo número impar.

Harald Andrés Helfgott lo ha demostrado y pasará a la historia de las matemáticas por ello. Para probar esta conjetura era necesario esfuerzo, tiempo y talento. Desde los 12 años frecuentaba las universidades para aprender. Estudió en Princeton y Yale. Trabaja en el Centro Nacional para la Investigación Científica de Francia. Tiene 36 años.

La solución ha llegado estudiando arcos mayores y menores. ¿Quieres leer el trabajo? Puedes encontrarlo (en inglés) aquí. Son solo 133 páginas!

Me parece justo acabar esta entrada con las palabras que ha colgado en Facebook junto con la noticia de la demostración. Una reflexión sobre la educación y su compromiso con sudamérica:

"Me parece que lo importante es - mas alla de donde vivamos o trabajemos - mantener un compromiso con la educacion y la ciencias en el Peru y Sudamerica, y con la matematica local en particular. Como varios de mis amigos que trabajan por aqui, vuelvo regularmente a mi lugar de origen para dar cursillos, organizar conferencias y ocuparme de los estudiantes. Quisiera que esto sirva para que el trabajo que muchas generaciones han hecho por la matematica peruana sea apreciado."

Las matemáticas de los Babilonios. El sistema de numeración.

Empecemos por el principio...

Una de las primeras entradas de este blog debía corresponderse, sin duda, con la primera civilización que utilizó la matemática, hacia el año 3.000 a.C., mil años arriba, mil años abajo...

¿Hasta qué punto surge como una inquietud intelectual? Desde mi punto de vista, bastante poco... sus matemáticas surgen naturalmente para resolver algunas necesidades sociales: comercio y construcción si se me permite ser simplista. 

Prueba de ello es que del mucho material que se dispone (utilizaron escritura cuneiforme, esto es, utilizando cuñas en tablillas de arcilla que han podido conservarse gracias a la resistencia del material) se encuentran métodos para resolver problemas, pero no demostraciones de tales métodos.

Uno de los asuntos más llamativos de los babilonios es que usaban base 60. 

Paréntesis para aquellos a los que les suena raro "base 60"... Actualmente se utiliza la base 10, esto es, hay 10 caracteres distintos y los números se expresan como sumas de potencias de 10. Ejemplo: 83=8*10¹ + 3*10⁰ ; mientras que, para los babilonios, se expresaría: 83=1*60¹ + 23*60⁰.

Así expresaban los números...

 

Volviendo al ejemplo de antes... 83 se escribiría en Babilonia:  

 

Antes de entrar o salir en los problemas que resolvieron, creo que debemos preguntarnos... ¿Por qué base 60?... 

En uno de los libros en los que he buscado información, he encontrado una teoría que me ha gustado sobre por qué en matemáticas se utilizó base 60... 

En textos no matemáticos a veces se utiliza base 10, base 12... no habiendo un "sistema internacional", cada uno contaba como se le ocurría. El que utilizaba base 10, posiblemente contara con los dedos de las manos (como los niños). La base 12, pudiera venir de contar con las falanges (como hacen las abuelas).

Mesopotamia era una zona en la que se realizaba mucho comercio. Puede que se escogiera la base 60 por ser el múltiplo más pequeño de las bases que se utilizaban en ese momento. Aunque eso es algo que nunca sabremos con certeza...

En cualquier caso, no hay que despreciar este sistema de numeración, que ha persistido hasta ahora: horas de 60 minutos, minutos de 60 segundos... incluso midiendo ángulos: 360º, una vuelta al círculo, son seis veces 60º.

En próximas entradas haremos valoraciones sobre su aritmética y su álgebra...

El teorema de Pitágoras - Mayo 2013 - Demostración pitagórica

Hay cientos de demostraciones del teorema de Pitágoras. En este blog, los días 1 de cada mes, se colgará una nueva demostración. Espero que lo disfruten!

a²+b²=c²

Unos crían la fama y otros cardan la lana.

¿Por qué digo esto? Parece que el primero en demostrar la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo fuera Pitágoras y posiblemente no fuera así. Por dos motivos:

• Los babilonios y los egipcios ya disponían de ternas pitagóricas, esto es, anotaciones de grupos de tres números que satisfacen el teorema (3, 4 y 5; por ejemplo). La matemática previa a los griegos fue mucho menos rigurosa y se conserva muy poco material. Que no se conserve el papiro o la tablilla donde lo demostraron no significa que no lo demostraran.
• Pitágoras era un filósofo griego, que da nombre a la escuela pitagórica (por no decir secta pitagórica), un grupo de eruditos que pensaban que todo podía relacionarse con números. Pudo demostrarlo un miembro de la escuela y no el mismo Pitágoras.

Hay cientos de demostraciones distintas a lo largo de la historia (hay un libro que recoge 367). En el futuro escribiré entradas con demostraciones diferentes, las que me parecen más creativas. También son historia.

En esta entrada explico la demostración que, en teoría, dio Pitágoras...

Pitágoras conocía que los lados de triángulos semejantes (con los mismos ángulos) son proporcionales. Conocía la geometría de Tales de Mileto (es posible que llegaran a coincidir juntos).

Partiendo de este dibujo y de los conocimientos de triángulos semejantes...

El triángulo ABC es semejante a BCH. Demostración:

• Los dos son rectángulos.
• Comparten el ángulo 
• La suma de los ángulos de un triángulo es 180º 

Por el mismo motivo, ABC es proporcional a CAH.

Sumando las dos expresiones, resulta:

Esta es la primera demostración oficial del teorema. La demostración de los elementos de Euclides resulta más compleja. La veremos en futuras entradas.